Vydáno:
Asi není slavnějšího paradoxu, než je tento Zenonův. Běžec Achilles závodí s želvou. Achilles je 10x rychlejší, než želva. Nechá jí tedy 10 metrů náskok a potom vyběhne za ní. Jenže, v době, kdy se dostane Achilles do místa 10 metrů, želva uběhne další metr. Když Achilles uběhne další metr, aby ji doběhl, želva je už zase o 10 centrimetrů před ním. Náskok želvy se bude pořád zmenšovat, ale doběhne ji někdy Achilles?
\begin{align}
s &= \text{Dráha, kterou uběhne Achilles, aby dohnal želvu (m)}\\
s &= 10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}\ldots
\end{align}
Získali jsme zápis nekonečné řady, kde každý další člen je 10x menší, než ten předchozí. Na první pohled to vypadá, že nebudeme schopni provést součet všech členů, abychom se dobrali výsledku. Ale zkusme provést pár úprav:
$$
s = 10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}\ldots
$$
obě strany výrazu vynásobíme 10
$$
10s = 100+10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}\ldots
$$
tyto 2 rovnice od sebe umíme odečíst
$$
9s = 100\\
s = \frac{100}{9} \approx 11,11
$$
Měli jsme štěstí, součet této nekonečné řady je konečný. Achilles doběhne želvu za zhruba 11,11 metrů.